Đề thi thử môn Toán của trường chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội

Đề thi thử môn Toán của trường chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội (lần thứ 2), thi ngày 8/1/2012. Tải về bản in: Download

Đề thi thử môn Toán của trường chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội (lần 1), thi ngày 27/11/2011. Tải về bản in lần l: Download

Nguồn: kienqb2011 - boxmath.vn.

Xem thêm:  Đề thi thử ĐH 2012 có đáp án (môn Toán, Lý, Hóa)

Sai lầm khi giải bài toán tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu)

Chúng ta bắt đầu bằng đề và đáp án câu 6b trong đề thi học kì 1, môn Toán 12 của Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế (gọi là Bài toán 1).

Cùng với bản đính chính (do chuyên viên Sở cung cấp, chỉ sửa dấu "tương đương" bởi dấu "suy ra", ngay sau y'(2)=0 và y''(2)>0), có thể tóm lược lời giải này gồm 2 bước như sau:
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=2, suy ra y'(2)=0 và y''(2)>0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x=2 (nhờ bảng biến thiên).
Cả hai bước này đều có những sai lầm nghiêm trọng. Dễ thấy rằng, ở bước 2, tác giả đã vẽ bảng biến thiên sai. Tuy nhiên sai lầm trầm trọng nhất nằm trong bước 1.
Để bạn đọc thấy rõ sai lầm này, ta "làm tương tự" với bài toán sau:
Bài toán 2: Định m để hàm số y = m.x⁴ + 1 đạt cực tiểu tại x = 0.
Tương tự như lời giải của Bài toán 1, ta làm như sau:
Ta có y' = 4m.x³, y'' = 12m. x². Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 nên: y'(0)=0 và y''(0)>0, điều này dẫn đến không có giá trị nào của m thỏa mãn. (Do đó khỏi cần làm bước 2).
Tuy nhiên, dễ thấy rằng, hàm số trên sẽ đạt cực tiểu tại x=0 với mỗi số dương m. Hình ảnh dưới đây minh họa cho trường hợp m=1.

Hàm số này đạt cực tiểu tại x = 0.

Như vậy lời giải của chuyên viên Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế sai ở chỗ nào? Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta xem lại 2 định lí trong sách giáo khoa Toán 12:
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 11):
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm a. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại a thì f'(a)=0.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 15):
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 1 trên một khoảng chứa a, f'(a) = 0 và f có đạo hàm cấp 2 tại a.
(i) Nếu f''(a)>0 thì x=a là điểm cực tiểu.
(ii) Nếu f''(a)<0 thì x=a là điểm cực đại.
(Còn nếu f''(a) = 0 thì ta chưa kết luận được gì).

Từ đó có thể thấy, sai lầm của lời giải trên nằm ở chỗ: tác giả không phân biệt được đâu là điều kiện cần, đâu là điều kiện đủ. Đây là sai lầm mà nhiều học sinh (và cả một số giáo viên) thường mắc phải khi giải bài toán "tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu) tại một điểm".

Để kết thúc bài viết này, chúng tôi sửa lại lời giải Bài toán 1:
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Khi đó, theo điều kiện cần của cực trị, ta có y'(2)=0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, ta kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (có thể dùng bảng biến thiên hoặc điều kiện đủ của cực trị, tuy nhiên nên dùng "điều kiện đủ" cho nhanh).
Vậy m=16 là giá trị duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

P.S. Nhiều bạn thắc mắc tại sao chúng tôi không công bố tất cả sai sót trong đáp án đề thi HK1 Toán 12,  như đã hứa ở cuộc thi do tuyensinhvnn tổ chức. Bài viết này chỉ chỉ ra lỗi sai trầm trọng nhất, các lỗi còn lại như: giải phương trình thiếu điều kiện; vẽ hệ trục không có Ox, Oy; tính toán sai, lỗi chính tả, đánh sai năm học; ... các bạn cũng dễ dàng tìm được. Xem toàn bộ đề và đáp án nhiều sai sót này ở đây.

Minh họa giới hạn hàm số

Hình ảnh dưới đây được chụp từ Sách Đại số & Giải tích 11 (chương trình chuẩn), minh họa cho giới hạn hàm số.

Ảnh minh họa cho bài "Giới hạn hàm số" ở SGK Toán 11

Không biết các bạn có suy nghĩ thế nào chứ tôi thấy đây là một hình ảnh không phù hợp, nhìn có vẻ "kỳ kỳ". Không biết ai đã "sáng tạo" ra hình này nhỉ?
Ai có bình luận, mô tả gì về hình ảnh minh họa này thì đề nghị để lại nhận xét trong khung comment.

Đã đăng: Bài tập GIỚI HẠN dãy số - Giới hạn hàm số - Hàm số liên tục / Phương pháp khử dạng vô định trong giới hạn hàm số

Đề thi thử Đại học môn Lý năm 2012 (đáp án, word)

Bài viết này giới thiệu bộ đề thi thử Đại học môn Lý năm 2012 (có đáp án). Bộ đề này gồm 5 đề thi trong đó có 4 đề bằng word, mới thi trong năm 2012 này. de thi thu dh mon ly 2012, de thi thu dai hoc 2012 mon vat ly co dap an.

Tải bộ 5 đề thi thử vật lý 2012 có đáp án ở đây: Download

Xem thêm: 80 đề thi thử ĐH môn Lý có đáp án / Đề thi thử ĐH môn TOÁN, LÝ, HÓA, SINH 2011 / Đề thi thử Đại học 2012 Toán, Lý, Hóa

Thăm dò: Bạn yêu hay ghét Hiệu trưởng của bạn?

Chúng tôi mở cuộc thăm dò này để xem xem độc giả của tuyensinhvnn (phần lớn là giáo viên, học sinh, sinh viên) có tình cảm thế nào với Hiệu trưởng của trường các bạn. Mong các bạn vui lòng bỏ chút thời gian để nêu lên ý kiến của mình. (Đã hết hạn bình chọn).
Kết quả điều tra sau 24h (1 ngày) trên tuyensinhvnn.com:

Chỉ có 24,23% số người được hỏi tỏ ra yêu mến, cảm phục hiệu trưởng. Còn lại là "ghét cay ghét đắng" và "không yêu không ghét" (kiểu như không quan tâm hiệu trưởng là ai, hiệu trưởng có tồn tại hay không).
Ai có ý kiến khác và có những nhận xét cụ thể chi tiết hơn thì đề nghị nêu ở phần nhận xét (comment).

Đề thi Đại học 2012 môn Toán - Triệu Sơn 4, Thanh Hóa - có đáp án

Đề thi thử Đại học 2012 môn Toán (có đáp án chi tiết) của trường Triệu Sơn 4, Thanh Hóa. Mặc dù chưa có các phần chưa học ở học kì 2 của chương trình 12 nhưng đề thi khá hay, có thể giúp học sinh kiểm tra tôt kiến thức đã học của mình. Đáp án được soạn thảo công phu, biểu điểm chi tiết.

Tải đề và đáp án ở đây: De thi Dai hoc 2012 co dap an - Trieu Son 4.

Xem thêm: Đề thi thử ĐH năm 2012 có đáp án (môn Toán, Lý, Hóa)

Ứng dụng lý thuyết Galois trong phép dựng hình (Tiểu luận)

Tiểu luận "Ứng dụng lý thuyết Galois trong phép dựng hình" của Hà Duy Nghĩa, Cao học Quy Nhơn, khóa 11.

Tiểu luận đã chứng minh điều kiện đủ của việc chia đường tròn thành n phần bằng nhau. Từ đó, áp dụng để giải quyết các bài toán dựng hình: chia 3 một góc, dựng ngũ giác đều, 15-giác đều, 17-giác đều,...
Tải về tại đây: Download Ung dung Galois trong bai toan dung hinh.

Xem thêm: Cách dựng ngũ giác đều / Dựng đa giác đều 17 cạnh / Giáo trình Lý thuyết Galois