Sai lầm khi giải bài toán tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu)

Chúng ta bắt đầu bằng đề và đáp án câu 6b trong đề thi học kì 1, môn Toán 12 của Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế (gọi là Bài toán 1).

Cùng với bản đính chính (do chuyên viên Sở cung cấp, chỉ sửa dấu "tương đương" bởi dấu "suy ra", ngay sau y'(2)=0 và y''(2)>0), có thể tóm lược lời giải này gồm 2 bước như sau:
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=2, suy ra y'(2)=0 và y''(2)>0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x=2 (nhờ bảng biến thiên).
Cả hai bước này đều có những sai lầm nghiêm trọng. Dễ thấy rằng, ở bước 2, tác giả đã vẽ bảng biến thiên sai. Tuy nhiên sai lầm trầm trọng nhất nằm trong bước 1.
Để bạn đọc thấy rõ sai lầm này, ta "làm tương tự" với bài toán sau:
Bài toán 2: Định m để hàm số y = m.x⁴ + 1 đạt cực tiểu tại x = 0.
Tương tự như lời giải của Bài toán 1, ta làm như sau:
Ta có y' = 4m.x³, y'' = 12m. x². Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 nên: y'(0)=0 và y''(0)>0, điều này dẫn đến không có giá trị nào của m thỏa mãn. (Do đó khỏi cần làm bước 2).
Tuy nhiên, dễ thấy rằng, hàm số trên sẽ đạt cực tiểu tại x=0 với mỗi số dương m. Hình ảnh dưới đây minh họa cho trường hợp m=1.

Hàm số này đạt cực tiểu tại x = 0.

Như vậy lời giải của chuyên viên Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế sai ở chỗ nào? Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta xem lại 2 định lí trong sách giáo khoa Toán 12:
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 11):
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm a. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại a thì f'(a)=0.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 15):
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 1 trên một khoảng chứa a, f'(a) = 0 và f có đạo hàm cấp 2 tại a.
(i) Nếu f''(a)>0 thì x=a là điểm cực tiểu.
(ii) Nếu f''(a)<0 thì x=a là điểm cực đại.
(Còn nếu f''(a) = 0 thì ta chưa kết luận được gì).

Từ đó có thể thấy, sai lầm của lời giải trên nằm ở chỗ: tác giả không phân biệt được đâu là điều kiện cần, đâu là điều kiện đủ. Đây là sai lầm mà nhiều học sinh (và cả một số giáo viên) thường mắc phải khi giải bài toán "tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu) tại một điểm".

Để kết thúc bài viết này, chúng tôi sửa lại lời giải Bài toán 1:
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Khi đó, theo điều kiện cần của cực trị, ta có y'(2)=0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, ta kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (có thể dùng bảng biến thiên hoặc điều kiện đủ của cực trị, tuy nhiên nên dùng "điều kiện đủ" cho nhanh).
Vậy m=16 là giá trị duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

P.S. Nhiều bạn thắc mắc tại sao chúng tôi không công bố tất cả sai sót trong đáp án đề thi HK1 Toán 12,  như đã hứa ở cuộc thi do tuyensinhvnn tổ chức. Bài viết này chỉ chỉ ra lỗi sai trầm trọng nhất, các lỗi còn lại như: giải phương trình thiếu điều kiện; vẽ hệ trục không có Ox, Oy; tính toán sai, lỗi chính tả, đánh sai năm học; ... các bạn cũng dễ dàng tìm được. Xem toàn bộ đề và đáp án nhiều sai sót này ở đây.