Vũ Hà Văn - người khai sinh số học tổ hợp

tuyensinhvnn Xin giới thiệu bài viết mới nhất về một trong hai giáo sư Toán học trẻ nhất Việt Nam - GS Vũ Hà Văn.

Giáo sư Vũ Hà Văn

Giáo sư Vũ Hà Văn là người đầu tiên trên thế giới tìm ra toán "số học tổ hợp" - tạo ra một con đường mới cho nền toán học thế giới. Anh cũng là người đưa ra lời giải cho một loạt các bài toán lớn mà nhiều thập niên lại đây, không ai giải được. Nhưng có lẽ ít ai ngờ, vị giáo sư toán học hàng đầu thế giới lại có một tuổi thơ đầy nhọc nhằn trong những tháng năm đạn bom khói lửa ở quê hương Việt Nam.

Giải bài toán "bí" nhiều thập niên

Một loạt các lý thuyết toán học của các nhà toán học lẫy lừng như Segre về đại số năm 1950; Shamir về đồ thị ngẫu nhiên năm 1980 và bài toán của hai nhà Nobel vật lý Wigner - Dyson năm 1950, 1960, trong hàng chục năm qua chưa có ai giải đáp nổi để đưa vào ứng dụng. Bài toán “bí” này chỉ chấm dứt khi vị GS toán học người Việt, Vũ Hà Văn - hiện đang giảng dạy ở Trường ĐH Tổng hợp Rutgers, Hoa Kỳ - tìm ra một loạt các định lý về xác suất tổ hợp, ma trận ngẫu nhiên, mật độ giá trị riêng của ma trận ngẫu nhiên.

Sau khi đưa ra các định lý để lý giải, vận dụng các lý thuyết toán của các nhà toán học trên, thì những bài toán vốn đang nằm "ngủ" hàng chục năm qua mới được đưa vào ứng dụng trong thực tế. Anh cũng chính là người "khai mở" nên số học tổ hợp (nằm trong toán tổ hợp), một loại hình toán mới trên thế giới.

Với loại hình toán học mới này, Vũ Hà Văn đã xuất bản một cuốn sách mang tên Additive combinatorics dày 570 trang do nhà xuất bản Đại học Cambridge ấn hành. Cuốn sách này anh viết chung với Terence Tao, một trong những nhà toán học hàng đầu của thế giới.

Nhờ những sáng tạo mở ra ngành toán học mới và tìm ra lời giải cho những bài toán "bí" suốt nhiều thập niên, Vũ Hà Văn được trao tặng giải thưởng George Polya. Tên tuổi và những đóng góp của anh được đặt bên cạnh những tên tuổi toán học lớn của thế giới. Thần đồng toán học thế giới L.Lovasz, hiện là chủ tịch Hội toán học thế giới cũng được trao giải thưởng này vào năm 1979.

GS Vũ Hà Văn cho biết: "Một số công trình phát triển và ứng dụng lý thuyết xác suất mà nhờ đó tôi được trao giải Polya là công trình mà qua đó để giải quyết một số bài toán tổ hợp. Phần lớn các công trình này được bắt nguồn từ luận án Tiến sĩ tôi viết tại Đại học Yale (1994-1998). Trong vòng 10 năm qua, các ý tưởng đã được đào sâu, tìm được nhiều ứng dụng và tôi cũng đã phát triển chúng thêm rất nhiều".

Cuộc hội ngộ với thần đồng toán học L.Lovasz

Có lẽ, người có công đưa Vũ Hà Văn đến với thành công ấy, chính là thần đồng toán học L.Lovasz. Đến bây giờ anh vẫn nhớ như in cái ngày định mệnh năm 1987, sau khi tốt nghiệp Trường chuyên Hà Nội - Amsterdam, Vũ Hà Văn lên đường sang Hungary học ngành điện tử tại ĐH Bách khoa Budapest. Trong cuộc thi toán Schweitrer Miklos dành cho sinh viên Hungary, bài luận của Vũ Hà Văn đã được Viện sĩ Hàn lâm, thần đồng toán học thế giới L.Lovasz nghe. Ngay sau đó, thần đồng toán học đã đích thân gửi thư tới Đại sứ quán Việt Nam tại Budapest và bày tỏ về khả năng toán học đặc biệt của Văn. Thần đồng toán học thế giới đã đề nghị Đại sứ quán cho sinh viên Vũ Hà Văn được tiếp tục quá trình học tập tại khoa Toán của Trường ĐH Tổng hợp Eotvos Lorand.

"Tôi rất mong muốn nhận được sự giúp đỡ để chúng ta có thể đào tạo tài năng này một cách tốt nhất", giáo sư L.Lovasz nhấn mạnh trong lá thư gửi Đại sứ quán. Lá thư này đã tạo nên bước ngoặt lớn trong cuộc đời chàng sinh viên Vũ Hà Văn. Anh chuyển từ ngành Điện sang học ngành Toán.

Dưới sự giảng dạy trực tiếp của thần đồng toán học thế giới - GS L.Lovasz, chàng sinh viên Việt Nam Vũ Hà Văn đã sớm bộc lộ những sáng tạo xuất sắc trong ngành Toán và đạt được những thành tích đáng nể trong cuộc đời sinh viên.

Liên tục trong các năm 1991, 1992, 1993 anh đã đoạt giải thưởng trong các cuộc thi Schwritzer - là cuộc thi toán khó nhất cho sinh viên nhằm tìm những nhà nghiên cứu cho tương lai. Là sinh viên năm thứ 3, anh được cử đi dự hội nghị toán học trẻ quốc tế tổ chức tại Đại học Conell ở Hoa Kỳ. Tại hội nghị lớn này, anh đã được đọc bài luận và đăng bài trên tạp chí toán học thế giới. Sang năm học thứ tư, anh được cấp thêm một học bổng của các nước trong khối Cộng đồng châu Âu, sang Bỉ theo học chuyên đề một năm tại Trường đại học Gent.

Năm 1994, tốt nghiệp đại học với tấm bằng đỏ, Vũ Hà Văn lại được nhận giải thưởng Renyi Kato của Hội toán học Hungary và được nhận làm luận án tiến sĩ. Với bảng thành tích dày đặc sau 5 năm được thần đồng toán học thế giới giảng dạy, khi tốt nghiệp đại học tại Hungary, có tới 3 trường đại học danh tiếng của Hoa Kỳ đã đồng ý triệu tập Vũ Hà Văn sang học tiến sĩ.

Cuối cùng, mùa hè năm 1994, Vũ Hà Văn đã quyết định sang Hoa Kỳ học tiến sĩ ngành toán tại ĐH Yale, là ngôi trường cổ có ngành toán tốt nhất Hoa Kỳ, dưới sự hướng dẫn của GS Lovasz. Hiện anh đang giảng dạy tại ĐH Tổng hợp Rutgers, New Jersey - ngôi trường có bộ môn toán tổ hợp mà anh theo đuổi. Vũ Hà Văn còn được mời làm Chủ nhiệm chương trình "Số học tổ hợp" của IAS.

GS Vũ Hà Văn và gia đình nhỏ

Cuộc sống gia đình bình dị

Nhìn cuộc sống đầy đủ, tên tuổi vang dội của GS Vũ Hà Văn bây giờ thì ít ai ngờ, anh cũng từng trải qua tuổi thơ đầy nhọc nhằn trong những năm tháng quê hương Việt Nam còn khó khăn. Đó là những năm tháng mà cha Vũ Hà Văn, nhà thơ Vũ Quần Phương gọi là: "Sống cho qua kỳ đói, khỏi kỳ loạn và chỉ nghĩ làm sao để gia đình được cơm no áo ấm, chứ không dám mơ tới cơm ngon áo đẹp".

Vũ Hà Văn sinh năm 1970, đúng những năm tháng chiến tranh, khói lửa, nên cuộc sống vô cùng vất vả. Cho đến khi thi đỗ điểm rất cao vào khoa Điện tử - Tin học của ĐH Bách khoa Hà Nội, được tiêu chuẩn theo học ở nước ngoài và sang Hungary học, anh vẫn sống trong sự túng thiếu.

Một lần, anh đã phải thốt lên với cha: "Trong đời làm sinh viên của con, con chưa bao giờ được mua đồ mới để dùng cả". Tất cả các đồ dùng cần thiết cho cuộc sống như quần áo, sách vở, radio... Văn đều phải mua lại của những sinh viên tốt nghiệp về nước với giá chỉ bằng 20 - 30% so với đồ mới. Nhưng tất cả những nhọc nhằn của tuổi thơ, của chàng sinh viên xa nhà nơi đất khách cũng không quật ngã được ý chí mạnh mẽ trong Vũ Hà Văn. "Những năm Văn học ở Hungary thiếu thốn lắm, học bổng chỉ đủ ăn thế mà sau 3 năm học đầu, Văn vẫn tiết kiệm được 100 USD mang về cho bố mẹ. Khi cầm đồng tiền ấy, tôi thực sự rất xúc động và thương con", nhà thơ Vũ Quần Phương kể.

Những thành công lớn trên thế giới của Vũ Hà Văn sau này dường như không chỉ là những trái ngọt nơi đầu cành ở chốn đất khách quê người, mà nó đã được ươm mầm từ những năm tháng thơ ấu. Lớn lên trong khốn khó, nhọc nhằn về kinh tế nhưng Vũ Hà Văn lại được hưởng một môi trường giáo dục gia đình tình cảm và luôn đặt sự học lên hàng đầu.

Cha anh, nhà thơ Vũ Quần Phương dù công việc có bận đến bù đầu, vẫn luôn đưa con đi học hàng ngày. Khi đến giờ đón con tan học, dù đang ngồi uống bia vui vẻ bù khú với bạn bè, nhà thơ Vũ Quần Phương cũng gác cốc đứng dậy đi đón con. "Đừng bao giờ để đứa trẻ đứng đợi ở cổng trường bơ vơ, dù là 5 phút. Khi mà tất cả lớp về hết rồi mà còn mỗi con mình đứng đó thì nó buồn đến chừng nào và lo sợ đến chừng nào. Tôi mồ côi bố từ năm lên 6 nên càng thấm thía sự cô đơn và không bao giờ muốn con có cảm giác mà tôi từng trải qua", nhà thơ Vũ Quần Phương tâm sự. Ông cũng hết sức cầu kỳ khi chọn thầy, chọn trường cho con bởi theo ông, sự thành công của đứa trẻ có sự đóng góp chủ yếu của các thầy. Tâm niệm vậy, nên ngay từ bé, ông đã miệt mài tìm bằng được cho con vị thầy giáo giỏi bậc nhất Hà Nội lúc bấy giờ là thầy Tôn Thất. Dù ngày nắng cũng như ngày mưa gió, bão bùng, ông vẫn đạp xe chở con hàng cây số đến nhà thầy học.

Vị giáo sư toán học hàng đầu thế giới suốt ngày bù đầu với việc giảng dạy, nghiên cứu, viết sách nhưng vẫn không quên ngày nào cũng gửi email từ Hoa Kỳ về Việt Nam cho cha mẹ. Bức thư dù ngắn ngủi vài dòng hay dài dằng dặc đến vài trang, luôn là những thông điệp, những dòng tin nhắn, những bức ảnh kể về công việc, cuộc sống trong ngày của Văn và vợ con. Và anh cũng tận tụy với con, với gia đình như chính cha anh đối với anh thuở còn thơ ấu. Sáng sáng, anh đưa hai con tới trường, rồi lái xe tới nơi làm việc hoặc làm việc tại nhà để đến 4 giờ chiều lại vội vã đi đón con, nấu bữa tối cho cả gia đình. "Do công việc giảng dạy và nghiên cứu của tôi chủ động được thời gian hơn nên những khi không phải đi giảng dạy ở các nước, tôi thường đảm nhiệm việc đưa đón con tới trường giúp vợ. Vợ tôi phải làm công việc theo giờ hành chính không thể về sớm được nên tôi cũng giúp vợ công việc nội trợ như nấu cơm, đi chợ", vị giáo sư toán học hàng đầu thế giới mỉm cười "thanh minh".

Nhờ những sáng tạo mở ra ngành toán học mới và tìm ra lời giải cho những bài toán "bí" suốt nhiều thập niên, Vũ Hà Văn được trao tặng giải thưởng George Polya 2008, lần trao giải George Polya gần đây nhất. Đây là giải thưởng cao nhất dành cho những người nghiên cứu toán tổ hợp của Hội Toán học ứng dụng và công nghiệp Mỹ (SIAM) lập ra từ năm 1969. Theo đánh giá của SIAM, các công trình của Vũ Hà Văn đã phát triển các bất đẳng thức cơ bản cho các đa thức ngẫu nhiên. Các bất đẳng thức này có phạm vi ứng dụng rộng hơn các bất đẳng thức trước đây; chúng cho phép tìm ra lời giải cho một số bài toán lớn từ lâu nay trong hình học xạ ảnh, hình học lồi, lý thuyết đồ thị… Các bất đẳng thức này là một trong những đóng góp quan trọng nhất trong lý thuyết tổ hợp xác suất trong một thập kỷ qua.

tuyensinhvnn.com (Theo Gia đình & Xã hội, Dân trí copy lại).

Xem thêm: Vũ Hà Văn - một trong hai giáo sư Toán học trẻ nhất Việt Nam

Đề cương Toán 11 năm 2011 - 2012 (học kì 1) toàn tập

Bộ Đề cương Toán 11 học kỳ 1 năm 2011 - 2012 toàn tập, gồm tóm tắt lý thuyết từng bài, một lượng bài tập phong phú đa dạng. Gồm cả Đại số và Hình học 11.

Đề cương Toán 11, học kì 1, năm học 2011 - 2012

Tải ebook "Đề cương ôn tập học kì 1 Toán 11" dày 72 trang tại đây: Download.

Đã đăng: Đề cương ôn tập học kỳ 1 Toán 11 năm học 2010-2011 / Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 11 năm học 2010-2011 / Đề cương ôn tập Toán 10, học kì 1 năm học 2011-2012

Phương pháp quy nạp Toán học - Sai lầm ở đâu?

Các học sinh 11 vừa học xong bài "Phương pháp quy nạp Toán học". Vậy các em hãy xem lời giải của bài toán sau đây.
Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n mệnh đề sau đây đúng: "Nếu a và b là những số nguyên dương mà max(a,b)=n thì a=b".
Lời giải:
Bước cơ sở: Với mỗi n nguyên dương, kí hiệu A(n) là mệnh đề đã cho. Rõ ràng A(1) đúng vì nếu max(a,b)=1 thì hiển nhiên a=b (do a,b nguyên dương).
Bước quy nạp: Giả sử A(k) đúng. Nếu a, b là những số nguyên dương sao cho max(a,b)=k+1 thì hai số c=a-1, d=b-1 có max(c,d)=k. Do đó theo giả thiết quy nạp, ta suy ra c=d. Vì vậy a-1=b-1, suy ra a=b. Vậy A(k+1) đúng.
Theo nguyên lý quy nạp, A(n) đúng với mọi số nguyên dương n.

Nếu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí. Vì vậy chắc chắn trong lời giải trên có chỗ nào đó bị sai. Bạn hãy tìm xem!

Đã đăng: Tập xác định hàm số lũy thừa - sai lầm ở đâu?

Bao giờ giáo viên được thưởng Tết?

Thêm một bài viết đầy tâm trạng của một thầy giáo trong ngày 20/11. tuyensinhvnn xin giới thiệu đôi điều suy nghĩ của thầy Minh Khang về chuyện thưởng Tết cho giáo viên.

Bao giờ GV được thưởng Tết?

Đã hơn 10 năm đi dạy, tôi đã thắm thía rất nhiều điều về thu nhập của giáo viên trong nền kinh tế thị trường hiện nay. Đã có rất nhiều ý kiến thảo luận, đề xuất khác nhau về chế độ và chính sách, tiền lương cho giáo viên và cán bộ công chức của ngành giáo dục, bởi giáo dục là quốc sách hàng đầu, đầu tư cho giáo dục là đầu tư lâu dài và bền vững. Những đến thời điểm này, giáo viên đã có được những chính sách ưu đãi về tiền lương như thế nào ngoài khoản phụ cấp đứng lớp? Thôi thì chúng tôi tự nghĩ mình vẫn là Cán bộ, công chức Nhà nước, chúng tôi vẫn được hưởng lương theo quy định, vẫn làm việc và cống hiến như bao người khác trong nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhau của xã hội. Nhưng cứ mỗi năm, vào dịp Tết đến, chúng tôi thật sự ngậm ngùi khi ai đó nhắc đến tiền thưởng của giáo viên, mà đúng nghĩa hơn đó là trợ cấp Tết. Vào dịp Tết năm đó, một em học trò cũ về thăm tôi. Qua nhiều đề tài thầy - trò tâm sự, em hỏi:“Tết này thầy được thưởng bao nhiêu?” Tôi trầm lắng và cũng vì tự trọng của nghề tôi nói cho qua lệ “ 500.000 đồng” (tức là gấp 10 lần sự thât!). Nhưng em đã trố mắt tôi và bảo: “Sao ít thế, em gấp thầy ít nhất 20 lần”….
Những năm trước đây, Bộ Giáo dục và Đào tạo kêu gọi các tỉnh thành, các ban ngành đoàn thể hãy chung tay chăm lo cái Tết cho giáo viên, đừng để nước mắt phải chạy ngược vào lòng mỗi khi Tết đến. Đó là lời kêu gọi, là tấm lòng của những người có nhiều tâm huyết với ngành giáo dục. Tuy nhiên, điều tôi muốn nói ở đây là việc thực hiện lời kêu gọi đó như thế nào, bởi cơ chế thưởng Tết cho giáo viên và cán bộ ngành giáo dục hiện nay không được ghi vào kinh phí của ngành giáo dục. Báo Tuổi Trẻ ngày 28-12-2010 đua tin, những doanh nghiệp 100% vốn nhà nước tại TP Hồ Chí Minh đều được thưởng vào dịp Tết với mức thưởng bình quân từ 4,9 triệu đồng đến 70 triệu đồng. Tại sao vây? Có lẽ năm 2010 vừa qua, những doanh nghiệp này đã tổng kết và mang về cho ngân sách Nhà nước nhiều khoản lợi nhuận thỏa đáng, cụ thể. Và họ được hưởng một phần của những khoản lợi nhuận đó. Thiết nghĩ, nếu với cơ chế như thế thì ngành Giáo dục làm sao có được tiền thưởng Tết, vì mỗi năm ngành không thể tổng kết, tính toán được lợi nhuận được bằng những con số tiền cụ thể. Và Tết này, chúng ta – những Giáo viên và cán bộ, công chức ngành Giáo dục sẽ không có tiền thưởng.

Minh Khang
(Tác giả gửi đăng trực tiếp trên tuyensinhvnn.com)

Ước gì đừng có ngày Nhà giáo Việt Nam

Nhân Ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11, tuyensinhvnn xin giới thiệu bài viết đầy tâm sự của một thầy giáo ở Bình Dương.

Ước gì đừng có ngày Nhà giáo!

Ngày Nhà giáo Việt Nam lại đến, một ngày lúc đầu mang ý nghĩa tôn vinh những người làm công tác giáo dục, nhưng theo dòng đời trôi cùng với tác động của cơm áo gạo tiền trở thành “ngày lễ thầy” với đúng nghĩa đen của từ lễ.

Thật vậy, cách tổ chức mừng ngày này của các trường na ná giống nhau về hình thức. Các thầy cô giáo phải đến trường, nghe những lời huấn dụ phải thế này, thế kia... Điều quan trọng nhất là làm gì để cho vị thế của giáo viên trong xã hội được nâng cao, được tôn trọng thì lại chia ở thì tương lai với động từ “sẽ...” mà không biết bao nhiêu năm “sẽ...” đã trôi qua. Tại sao trong ngày này, giáo viên không được nghỉ ngơi thư giãn, đi chơi đâu đó để có thể đón nhận những niềm vui thật sự từ học trò, từ người thân, từ bạn bè...

Có ngày 20/11 để làm gì, khi những món quà tặng thầy cô bị biến tướng thành phong bì, voucher quà tặng với 1 chữ số khác 0 đứng trước và đi kèm theo đó là 5 hoặc 6 chữ số 0. Để rồi sau đó, các phương tiện truyền thông và một bộ phận xã hội người dân nhìn, nói những lời xúc phạm nặng nề đến nhân cách của giáo viên. Là giáo viên chân chính không ai muốn điều đó cả. Nhưng hình như mọi người quên rằng, có những phụ huynh thật sự có điều kiện về kinh tế, họ không được tặng cho người thầy cô mà con cái họ yêu quý những món quà có giá trị lớn sao? Và người giáo viên nhận những món quà này có gì sai chăng?

Có ngày 20/11 để làm gì khi mỗi ngày trong cuộc sống, người giáo viên đang là những “Don Quixote” cố gắng giáo dục cho học trò viết đúng tiếng Việt, tôn trọng những chuẩn mực đạo đức của xã hội, tuân thủ luật pháp; thì hàng loạt “cối xay gió” kiểu “sát thủ đầu mưng mủ” lại in vào đầu các em những câu văn vô nghĩa, những câu nói vớ vẩn mà một số người lớn lại biện minh đó là “sự sáng tạo của tiếng Việt hiện đại”. Những hành động vô cảm trước hoạn nạn của người khác, thậm chí còn hưởng lợi từ sự thiếu may mắn của người khác. Để rồi đến một ngày khi đám trẻ trở thành sát thủ, giải quyết mọi mâu thuẫn bằng bạo lực, mọi nguyên do lại được quy về “không biết thầy cô dạy dỗ như thế nào?”.

Có ngày 20/11 để làm gì khi có những phụ huynh vì không nhìn thấy cái sai của quý tử nhà mình, sẵn sàng hành hung giáo viên, hả hê khi thấy giáo viên bị kỷ luật chỉ vì không kiềm chế được trong lúc nóng giận đã lỡ quất vào mông của quý tử đó một roi. Chưa bao giờ, giáo viên lại là người dễ bị “bắt nạt” như bây giờ, giáo viên bị phụ huynh hành hung, bị học sinh tấn công thì mọi chuyện sẽ không có gì ầm ĩ. Nhưng chỉ cần giáo viên có một hành động gì đó không đúng chuẩn mực lắm thì ngay lập tức hàng loạt "cơn mưa đá" sẽ trút xuống người giáo viên tội nghiệp, mà hình như mọi người ném đã quên mất rằng giáo viên cũng có đầy đủ hỷ nộ ái ố của một con người bình thường.

Khi cuộc sống đời thường của người giáo viên quá nghèo khổ thì bị nhìn với cặp mắt thương hại. Nhưng khi người giáo viên vươn lên thoát nghèo bằng chính nghề nghiệp của mình thì bị xã hội mỉa mai gọi là “bán chữ”, thậm chí còn bị xem đó như hành vi phạm tội, lập ra đội chống dạy thêm để hạch sách.

Xã hội đòi hỏi giáo viên phải sống thanh bạch như những cụ đồ ngày xưa trong làng xã, nhưng quên mất rằng những cụ đồ ngày xưa chỉ chăm lo việc dạy, còn cuộc sống được dân trong làng đảm bảo không để thầy phải bận tâm về cơm áo gạo tiền. Những người thầy mẫu mực được gọi là “vạn thế sư biểu” trong lịch sử như Chu Văn An, Khổng tử... đều có một cuộc sống đời thường thanh bạch giản dị nhưng không phải thiếu thốn những nhu cầu cần thiết.

Có lẽ, rất nhiều giáo viên đều ước rằng thay vì một năm có một ngày 20/11 với đủ các lời chúc hoa mỹ, quà tặng, với những lo lắng “đua quà” của phụ huynh, thì suốt cả năm cha mẹ hãy cùng chung tay với thầy cô trong việc giáo dục con em mình trở thành những người có ích trong xã hội, nói đúng ngôn ngữ tiếng Việt.

Cả xã hội thay đổi cách nhìn, nâng cao vị thế và cuộc sống thực tế của giáo viên để người thầy không còn là những “Don Quixote” trong cuộc chiến chống lại những cái xấu; để giáo viên xuất hiện trước mắt học sinh thân yêu với hình ảnh đẹp và mẫu mực của một thầy cô giáo đúng nghĩa.

Làm được như thế, ngày 20/11 không còn là một ngày của riêng ngành giáo dục mà mang một ý nghĩa to lớn hơn rất nhiều. Đó là ngày toàn dân vì tương lai của thế hệ trẻ sau này.

Th.S Phạm Phúc Thịnh

Giảng viên trường Đại học kinh tế kỹ thuật Bình Dương, đăng trên VNExpress

Tập xác định hàm số lũy thừa - Sai lầm ở đâu?

Bài viết này sẽ đăng 3 lời giải khác nhau cho 1 bài toán tương tự một bài tập trong SGK Toán 12 cơ bản về tập xác định của hàm số lũy thừa.

Sai lầm ở đâu?

Các bạn hãy cho biết, trong các lời giải trên, lời giải nào sai và sai ở chỗ nào? Vui lòng để lại ý kiến của bạn trong phần nhận xét của bài này.

BÌA GIÁO ÁN đẹp và tuyệt đẹp

Tuyển tập các mẫu bìa giáo án đẹp, các trang bìa giáo án đẹp. Phong phú, đa dạng, đáp ứng nhiều sở thích khác nhau của các giáo viên.
Tải bộ mẫu bìa giáo án này ở đây (nhiều file word trong 1 file RAR): Download Cac mau BIA GIAO AN dep